Dieser bleibt erhalten. Klasse bzw. Du verwendest sie immer, wenn dein Integral eine Summe enthält.
Summenregel
Beispiel:
Wenn dein Integral stattdessen eine Differenz enthält, gehst du analog vor.
Differenzregel
Beispiel:
(02:37)
Die Integrationsregeln zur partiellen Integration findest du ausführlich in einem eigenen Video erklärt.
Partielle Integration
Beispiel:
Du sollst folgende Funktion integrieren:
Zuerst entscheidest du, welche Funktion dein f'(x) und welche dein g(x) sein soll.
Gleichungen man damit integriert. Du wendest sie immer dann an, wenn das zu berechnende Integral eine Potenzfunktion enthält, also ein x mit einer Hochzahl.
Potenzregel
c ist hier eine Konstante. Klasse bis hin zur 12.
Einsetzen in das Integral ergibt nach Anpassung der Integrationsgrenzen
(02:47)
Im vorherigen Beispiel haben wir die Integrationsregeln für Sinus und Cosinus schon gesehen. Klasse in der Schule besprochen. Um den Artikel nicht zu lange zu machen ist jedoch unterhalb der Beispiele ein Link auf den Hauptartikel angegeben.
Hast du eine innere Funktion und eine äußere Funktion , also , dann substituierst du .
Beispiel:
Als Beispiel für die Integralrechnung durch Substitution wollen wir uns genauer anschauen. Dabei zeige ich euch welche Funktionen bzw. Ansonsten findet ihr ein Stück weiter unten die einzelnen Regeln mit Erklärungen und Beispiele.
Übersicht Integrationsegeln:
Ihr wisst nicht welche Integrationsregel benötigt wird?
Liegt jedoch der hier erwähnte Spezialfall vor (Zähler ist die Ableitung des Nenners), so hilft uns diese Regel dabei, ohne große Rechenarbeit das unbestimmte Integral zu finden.
Beispiel 9
Im Anschluss lernt die Integrationsregeln in der Reihenfolge wie wir diese weiter oben zeigen.
F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?
A: Die verschiedenen Integrationsregeln werden meistens ab der 11. Versucht dabei jeweils die Aufgaben zu lösen ohne mit dem Taschenrechner oder anderen Hilfsmitteln nachzuhelfen.
Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der unbestimmten Integrale die Integrationsregeln beachten.
Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion.
Beispiel 1
Beispiel 2
Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden.
Mithilfe der Faktorregel können wir den Integranden und dadurch die Berechnung vereinfachen.
Beispiel 3
Beispiel 4
Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der unbestimmten Integrale.
Mithilfe der Summenregel können wir den Integranden und dadurch die Berechnung vereinfachen.
Beispiel 5
Beispiel 6
Das unbestimmte Integral einer Differenz ist gleich der Differenz der unbestimmten Integrale.
Mithilfe der Differenzregel können wir den Integranden und dadurch die Berechnung vereinfachen.
Beispiel 7
Beispiel 8
Diese Integrationsregel besprechen wir ausführlich in dem Kapitel Partielle Integration.
Diese Integrationsregel besprechen wir ausführlich in dem Kapitel Integration durch Substitution.
Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.
Das Integrieren von Funktionen, in denen sowohl im Zähler als auch im Nenner ein vorkommt, ist meistens sehr schwierig.
Du benutzt sie immer, wenn deine Funktion einen Faktor c enthält, also wenn du mit einer konstanten Zahl multiplizierst.
Faktorregel
Beispiele:
(01:31)
Die dritte der Integralregeln ist die Summenregel.
In vielen Studiengängen tauchen die Regeln der Integration ebenfalls auf.
Grundsätzlich werden bei den Integrationsregeln zunächst die einfacheren Varianten besprochen, sprich Potenzregel Integration, Faktorregel Integration und Summenregel Integration. In diesem Video sehen wir uns die Grundlagen zu diesem Bereich der Mathematik einmal näher an.
Dies sind die Themen Im Video:
In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zu den Integrationsregeln an.
F: Wie lerne ich das Thema integrieren am einfachsten?
A: Startet zunächst mit den Grundlagen der Integration.
13. Ableitungsregeln
Es ist wichtig, sich immer wieder klarzumachen, wie eng die Differential- und die Integralrechnung zusammenhängen. Dabei handelt es sich um Regeln, die bei der Integration von Funktionen beachtet werden müssen.
Erforderliches Vorwissen
In unserer Formelsammlung finden wir die unbestimmten Integrale einiger einfacher Funktionen.
Die allgemeine Formel sieht leider sehr unschön aus. Insbesondere die beiden letzten Regeln helfen dabei Wurzelfunktionen, E-Funktionen, den natürlichen Logarithmus und Brüche zu integrieren. Es gilt
Integration e-Funktion
Steht in der Potenz noch ein Faktor, kannst du diese Regel anwenden:
Integration spezielle e-Funktion
Wenn du es mit noch komplizierteren Funktionen zu tun hast, dann schau doch unser Video speziell zum Integrieren von e-Funktionen an.
Das Integral von kannst du mithilfe der Integrationsregel zur partiellen Integration bestimmen und erhältst:
Integration ln-Funktion
Vielleicht erinnerst du dich auch, dass von die Ableitung war.
Dabei versucht man durch Substitution (Ersetzen eines Ausdrucks durch eine andere Variable) eine Funktion zu erzeugen, welche man in einer Integrationstabelle findet. Die gleichen Regeln, die wir in diesem Kapitel gelernt haben, gibt es dementsprechend auch beim Ableiten – nur eben umgekehrt, schließlich will man ja ab- und nicht aufleiten:
| Integrationsregel | Ableitungsregel |
|---|---|
Faktorregel | Faktorregel |
Potenzregel | Potenzregel |
Summenregel | Summenregel |
Differenzregel | Differenzregel |
Partielle Integration | Produktregel |
Substitutionsregel | Kettenregel |
Integralrechner
Einige typische Fälle die mit der partiellen Integration integriert werden können:
Weitere Erklärungen und vorgerechnete Beispiele findet ihr unter:
Integrationsregel Substitutionsregel:
Die Integration durch Substitution - auch Substitutionsregel - ist eine Regel der Mathematik um Funktionen zu integrieren.
Da abgeleitet ergibt und abgeleitet 1, ist g(x) = x und f'(x) = ex.
Jetzt stellst du f(x) und g'(x) auf, da du sie für die Formel benötigst.
Dann musst du deine Ergebnisse nur noch in die Formel einsetzen.
(02:22)
Für die Integrationsregeln zur Substitution haben wir ebenfalls ein eigenes, ausführliches Video für dich vorbereitet.
Wer bereits weiß welche Regel gebraucht wird kann sich direkt dorthin begeben. Wer die Antwort nicht weiß kann raten oder direkt zur Lösung springen, welche im Normalfall die Rechnung und eine Erklärung bietet.
Anzeigen:Wir haben noch kein Video welches alle Integrationsregeln beinhaltet (steht auf meiner To-Do-Liste).
Werft danach einen kurzen Blick auf die Integrationstabelle für einfache Funktionen. Die Funktion, die sich durch das Ableiten vereinfacht, wird dein g(x). Hier stellen wir dir nur kurz die Formel und ein typisches Beispiel vor.
Integration durch Substitution
Dort bekommt ihr erklärt warum man die Integralrechnung überhaupt benötigt. Wir substituieren und erhalten durch Ableiten und Umstellen . Die drei anderen Antworten sind falsch.