Diese Formel ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld • Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung
(00:12)
Ein Kreis mit Radius und Mittelpunkt ist allgemein als die Menge aller Punkte definiert, die den Abstand zum Mittelpunkt besitzen.
Dafür betrachten wir die Kreisfunktion
eines Kreises mit Mittelpunkt . Denn die Strecken der Ortskoordinaten und eines jeden Punktes auf dem Kreis bilden zusammen mit dem Ortsvektor ein rechtwinkliges Dreieck.
direkt ins Video springen
(02:04)
Im folgenden zeigen wir, wie du eine Kreisgleichung aufstellen kannst.
Der Kreis habe den Radius .
Nun setzen wir den Punkt in die Kreisfunktion ein, um herauszufinden, ob er innerhalb des Kreises, auf dem Kreis oder außerhalb des Kreises liegt. Bestimme nun seine Kreisgleichung in Normalform.
Wir haben die Koordinaten des Mittelpunktes und bereits gegeben.
Ein solcher Kreis beziehungsweise die Punkte auf dem Kreis lassen sich mit einer sogenannten Kreisgleichung beschreiben.
Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.
Friedrich der Große
Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Dann gilt: $ \angle AP_1B=\angle AP_2B=\alpha$. Dort ist die Kreisfunktion durch
gegeben. Das heißt gesucht ist die Länge der Strecke
Wir berechnen also zunächst :
und anschließend die Länge des Vektors :
Damit ergibt sich schließlich der Radius . keine
In der Elementargeometrie wurde ein Kreis als Menge aller Punkte mit einem festen Abstand zu einem vorgegebenen Punkt definiert.
Den Radius haben wir bereits bestimmt. Gilt für die Funktion
so befindet sich der Punkt im Inneren des Kreises.
Ist hingegen
dann liegt der Punkt genau auf dem Kreis. Für diese gibt es zwei Arten der Darstellung:
Merke
Normalform:
Parameterform:
(00:48)
Die Kreisgleichung
beschreibt einen Kreis mit Radius um den Ursprung.
Betrachten wir den Kreis analytisch, so können wir unter Benutzung des Satzes des Pythagoras folgende Formel für eine Kreis um den Ursprung angeben. Setzt man nun , sowie und in die Kreisgleichung ein, erhält man:
(03:08)
Wir wissen nun, was eine Kreisgleichung ist und wie sie aufgestellt wird.
Außerdem gilt, dass $ \angle AMB=2 \cdot \alpha $ ist und der Winkel zwischen der Tangente $t$ und $AB$ beträgt auch $\alpha$.
Satz von der Potenz eines Punktes:
Erklärung der Zeichnung:Die Sehnen $u$ und $v$ schneiden sich im Punkt $M$, wobei die Sehne $u$ den Kreis $k$ in den Punkten $B$ und $B'$ schneidet und die Sehne $v$ den Kreis $k$ in den Punkten $A$ und $A'$.
Dafür betrachten wir den Abstand der Mittelpunkte im Vergleich zur Summe der Radien.
Gegeben seien zwei Kreise mit Mittelpunkten und und Radien und .
Der Abstand der Mittelpunkte wird folgendermaßen berechnet:
Nun vergleichen wir ihn mit der Summe der Radien: .
Ist der Abstand der Mittelpunkte größer als die Summe der Radien, also
dann schneiden sich die Kreise nicht.
Gilt Gleicheit, das heißt
dann besitzen die Kreise einen Berührpunkt.
Wenn hingegen die Summe der Radien größer ist als
dann besitzen die Kreise zwei Schnittpunkte.
zur Videoseite: Kreisgleichung
Thema präsentiert von unserem Werbepartner
Zur Webseite
.
Dementsprechend befindet sich der Punkt außerhalb des Kreises, wennBetrachten wir noch einmal unser Beispiel vom Aufstellen einer Kreisgleichung.
Damit können wir bestimmen, indem wir den Abstand des Punktes , welcher auf dem Kreis liegt, zum Mittelpunkt berechnen. Dafür setzen wir (3,-2) in die Kreisfunktion ein:
Jetzt vergleichen wir dieses Ergebnis mit Es gilt
somit liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
Quiz zum Thema Kreisgleichung
5 Fragen beantworten
(03:53)
Wir wollen nun untersuchen, ob sich zwei Kreise schneiden und falls ja, wie viele Schnittpunkte es gibt.
Jetzt können wir sie verwenden, um die Lage eines Punktes im Kreis zu untersuchen. Du erhältst die Formel für den Einheitskreis: $x^2+y^2=1$
Satz von Thales:
Jeder Winkel in einem Halbkreis ist ein rechter Winkel.
(Klicke auf den Link für eine interaktive Erklärung dieses Satzes)
Peripheriewinkelsatz:
Erklärung der Zeichnung:Es sei $AB$ die Sehne von dem Kreis $k$ und es seien $P_1$ und $P_2$ zwei Punkte am Kreis, die über der Sehne liegen.
Nun wollen wir die Lage des Punktes untersuchen. keine
Eckpunkte: unendlich viele bzw.
x2+y2=r2
In Vektorschreibweise: ⟨p,p⟩=r2
Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt (x0∣y0) ergibt sich:
(x−x0)2+(y−y0)2=r2
Betrachtet man als Parameter t den Winkel der StreckeOP mit der x-Achse, so ergibt sich:
x=r⋅costy=r⋅sint
Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt (x0∣y0):
x=x0+r⋅costy=y0+r⋅sint
Unter Benutzung von Satz 5220B kann man hieraus wieder Formel 15VR ableiten.
Um die Gleichung aufstellen zu können, müssen wir daher lediglich den Radius berechnen.
Wir wissen, dass ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius definiert ist als die Menge aller Punkte, welche den Abstand zum Punkt besitzen.